文章来源：科学的历程
作者：刘华杰
责编：方阿美刘祥辉
刘华杰，北京大学哲学系教授，博物学文化研究者。著有《浑沌语义与哲学》《分形艺术》《中国类科学》《天涯芳草》《博物人生》《檀岛花事》《博物学文化与编史》《勐海植物记》等。
摘 要
波普尔是一位笃信非决定论(indeterminism)的科学哲学家，他一生都在为此信念寻找论据，试图构造更有说服力的论证。他更是用这一信念建立其著名的政治哲学的。本文考察波普尔在长长的《后记》（Postscript）之《开放的宇宙》中所构造的对"科学"决定论的反驳，同时梳理该论证背后的科学史背景。波普尔从迪昂的著作中汲取的重要营养，构成了其反驳"科学"决定论的关键性材料。
关键词 非决定论，波普尔，阿达马，迪昂，可测算性，非线性
波普尔
波普尔坚持认为，科学是一种发明，一种与艺术同样意味深长、同样神秘的创造行为。“科学史充满了猜测，”波普尔说，“这是一部奇妙的历史，它使你为自己是人类的一员而充满骄傲。”他把脑袋支在伸开的双手中间，像吟诵赞美诗似地说道，"我相信人类的心智。”
出于同样的原因，波普尔终生都在与科学决定论的教条作斗争，认为它与人类的创造力、与自由是对立的，因而与科学自身是对立的。波普尔宣称，早在现代浑沌学家之前，他就已经认识到：不仅量子系统，就连经典的牛顿系统都具有内在的不可预测性；他曾在年就此论点发表过演讲。他把手对着窗外的草坪一挥，说：“每株小草里都包含着浑沌。”（霍根，，54－55页）
本文试图对波普尔著作中提出的一个“论证”进行思想史的考察，这个“论证”是波普尔一生中不断反驳决定论的一系列工作中的一个重要环节，对于确立波普尔的整个哲学体系具有重要意义，但是长期以来被学界忽略了。另外，由于有这一论证，波普尔较早领会了浑沌的意义，这是其他当代科学哲学大人物未曾做到的。
波普尔（KarlPopper,-）是20世纪最伟大的科学哲学家、思想家之一。他的学术思想具有独创新、清晰性和稳定性的鲜明特点，他撰写的《研究的逻辑》（英译本为《科学发现的逻辑》）、《历史主义的贫困》（也译作《历史决定论的贫困》）、《开放社会及其敌人》《猜想与反驳》、《客观知识》等，在科学家和哲学家中引起强烈反响。爱因斯坦（A.Einsterin）、梅达沃（PeterMedawar）、埃克尔斯（JohnEccles）、莫诺（J.Monod）、贡布里希（ErnstGombrich）、哈耶克（F.A.vonHayek）、索罗斯（G.Soros）等不同领域的知名人物都宣称深受其学说的影响。2物理学家邦迪（HermannBondi）甚至夸张地说：“科学中方法是最重要的，而科学方法中波普尔的科学方法是最重要的。”[转引自Simkin，，p.1]
波普尔在科学方法论上主张试错法、猜想与反驳、证伪，反对归纳主义；在其“形而上学研究纲领”（metaphysicalresearchprogramme）3下，坚持实在论，同时反对各种决定论。波普尔说：“我的观点是，非决定论（indeterminism）与实在论是相容的，认识到这一事实，就使得采纳一种一致的客观主义的认识论、对整个量子理论作出客观的解释、对概率作出一种客观的解释，成为了可能。"[Popper,b,p.]波普尔所处的时代，正好是物理学基础理论大变动之际。他明确感受到物理学中的基本观念的分裂（schism），他列出了三组信念：（1）非决定论与决定论；（2）实在论与工具主义；（3）客观主义与主观主义。爱因斯坦、德布罗意、薛定谔、玻姆等是决定论者、实在论者。关于物理学理论的目的，他们是客观主义者，而关于概率论的解释，他们多少是主观主义者。玻尔、海森堡以及得到泡利和玻恩支持的正统的哥本哈根学派，则是非决定论者和工具主义者。波普尔尽管不赞成这一学派的主观主义情绪，但同情他们拒斥爱因斯坦等人的决定论。波普尔的观点与泡利的观点最接近。波普尔坚信，“非决定论与概率的倾向解释，使我们能够绘制物理世界的新图景。按照这幅图景，在此处只能描绘其大概的架构，物理世界的所有性质都是倾性的（dispositional），物理系统在任何时刻的真实状态，都可视为其倾性（或者其潜在性、可能性、倾向性)的总和。”[Popper,b,p.]波普尔指出，他的这些观念均属于其形而上学的研究纲领。
波普尔是熟悉当代科学进展的少有的思想家，5他从多个角度反驳了多种形式的决定论，其中对"科学"决定论（"scientific"determinism）的反驳比较有特色。从非线性科学对自然观、科学观的重新描绘的角度考虑，波普尔的讨论具有超前性，在今天仍然有重要意义。决定论与反决定论的观念由来已久，用波普尔的话讲，说到底它们都属于不可检验的形而上学，都是人们的某种信念。重要的是看人们如何为其信念进行辩护，拿出了什么样的证据。
本文只考察波普尔对"科学"决定论的一个关键性论据，但是，会围绕这个论据，系统讨论背后的一些关联。思想传播链
如果说《科学发现的逻辑》是波普尔最重要的哲学著作，那么第二重要的著作还是此书。如此说话有点俏皮，情况是这样的：在20世纪80年代初《科学发现的逻辑》的"后记"（Postscript）才出版，其中包含着作者对科学形而上学极为重要的阐述。原书与"后记"合起来，完整地再现了波普尔"早期的"（既是早期也是晚期的！）科学哲学思想。这个"后记"共计页，竟然比原著主体页厚得多。也许这是出版史上最长的"后记"了。这样的"后记"称为"续论"，才算合适。
早在《科学发现的逻辑》一书的第78节“非决定论的形而上学”中，波普尔就对非决定论表示了同情，认为决定论的大厦倒塌了，在其废墟上非决定论崛起了。不过，在那里波普尔并没有给出证据以说明非决定论如何成立，特别是没有从经典力学中寻找证据。这一缺陷在《开放的宇宙：对非决定论的一种论证》(OpenUniverse：AnArgumentforIndeterminism)中完全补足了，本文的任务就是考察这一论证。实际上，该书的副标题清楚地指明了该书的内容。波普尔把它写在标题中，也意在强调此问题在其整个学说中的地位。这一卷的写作时间为－年，处于德文版《研究的逻辑》（）与英文版《科学发现的逻辑》（）出版的时段之间，据说－年被排成校样，计划与《科学发现的逻辑》同时出版，但由于某种原因6，直到年才正式出版，此前一直以长条校样的形式在亲近的同行和学生之间流传。
波普尔在《开放的宇宙》中引用了年"阿达马的一个结果"，7[Popper,a,p.39]脚注中明确列出，这指的是阿达马（JacquesSalomonHadamard,-）发表在《纯粹与应用数学杂志》第4卷上第27至73页的一篇讨论负曲率表面上测地流（geodesicflow）的文章8，同时参考了著名科学哲学家、物理学家迪昂（PierreDuhem，-）的著作《物理学的目的与结构》中第三章"数学演绎和物理学理论"中提到的"永远不能被使用的数学演绎的例子"。9
阿达马
阿达马的那个结果发表时，阿达马33岁，迪昂37岁，再过4年波普尔才出生。
可以推测，波普尔是通过迪昂这一名著中的介绍才知道阿达马的重要结果的，波普尔著作的脚注为此作了提示。
迪昂的光辉著作后来引起科学哲学界极大重视，成为逻辑经验主义之后科学哲学许多重要进展的思想源泉，人们特别
布里渊（LéonBrillouin,-）年出版的《科学的不确定性与信息》（ScientificUncertainty,andInformation）第三章为"数学定理和物理学理论"，[Brillouin,,pp.32-38]从标题到内容与迪昂的第三章"数学演绎和物理学理论"均十分相似，这真是惊人的巧合。仔细比较后，可以肯定地说他们讨论的内容虽然相关，结论也相似，但论证过程各自是独创的。但是都可以追溯到一个共同的渊源：庞加莱等人开创的非线性动力学研究。在信息论流行时，布里渊的《科学不确定性与信息》曾受到重视，此书英文版在中国也被影印过，但是那时人们并没有欣赏到作者更深层的思想。或许，后人发掘那些伟大的著作每一次只能品尝和理解其中的一小部分，而每一次人们似乎都自信地以为理解了全部。
综合多种材料，可以找到非线性动力学浑沌思想在过去的一百多年里存在如下传播链：
（1）麦克斯韦（）→汉特（B.R.Hunt）＋约克（）。
（2）庞加莱（-，）→阿达马（）→伯克霍夫（，，）→莫尔斯（，）→范德坡＋斯美尔→梅＋李天岩＋约克→当代大批非线性动力学家。
（3）庞加莱→阿达马→迪昂（，）→波普尔（-，）。
（4）庞加莱＋玻恩（）→布里渊（，）。
第一条线在历史上几乎没有人注意，直到20世纪90年代人们才知道麦克斯韦或许是第一个理解浑沌的科学家。11这一条线本文作者已在一篇论文中简略介绍过，12不再重复。
第二条线属于自然科学界和数学界内部，是真正在科学史上发挥了影响的一支。查阅当代出版的非线性动力学浑沌的著作，都会了解到这一线索，因而这一条线相对说来广为人知。13
后两条线，在科学界提起的不多，它们基本上处于科学哲学的领域。
相比而言第一条与后两条线都是科学史工作者和科学哲学工作者值得
在讨论波普尔从阿达马那里知道了什么之前，先要介绍一下阿达马与迪昂的关系。对这些内容不感兴趣的读者，可以跳过下一节。阿达马与迪昂
在国内，心理学界和数学界经常听到阿达马这个名字。前者是因为他在创造心理学方面的论述早就介绍到了中国，后者是因为他是响当当的世界级数学家，年还来清华大学讲学三个月。非常有趣的是，他还是地地道道的博物学家，他有三大爱好：（1）音乐。他与爱因斯坦会面时，谈音乐多于谈相对论。[MazyaShaposhnikova,,p.]他还组织过家庭管弦乐队。（2）登山。作为一名杰出数学家，他到过世界的许多地方，每到一处他都找机会约朋友爬山。（3）植物。他特别喜爱蕨类植物，藏有大量标本。14 但他从不收藏他人赠送的标本。
阿达马年生于凡尔赛，－年在法国科学家与文化精英的摇篮之一巴黎高等师范学校学习。而迪昂年就已在高师读书。15 阿达马为gnouf（高师的行话，指新生，源于pignouf，意思是"农民"或"乡巴佬"）时，迪昂已是一名cube，即大二学生。用维索(ErnestVessiot,-)的话说，迪昂成了阿达马"最要好的朋友"，虽然迪昂年长5岁。"这种友谊对于日后引领阿达马的科学兴趣扮演着重要角色。"[MazyaShaposhnikova,,p.28]
阿达马年在《论迪昂的数学成就》一文中回忆说："从我入学高师那一时刻起，通过这种长时期宝贵的交谈，我们的友谊不断加深。他对埃尔米特（Hermite）及庞加莱的天才赞叹不已，他比我们多数人对他们的著作理解得更深刻（我的意思是他最喜欢数学）。但实际上，他熟悉当时各种重要的数学思想，熟悉各种真正富有成效的思想。从那时起，我从他那里得到范围广泛同时细节上又十分关键的诸多启发、洞见，而这些无形中或者不自觉地代替了我数月的学习。"[MazyaShaposhnikova,,p.28]他们两人在交谈中可以互相学习，科学史是他们共同的爱好。阿达马对偏微分方程的兴趣，就与迪昂有关。
－年阿达马在圣路易(Saint-Louis)中学任编外教师，从年5月到年9月在布丰(Buffon)中学任数学教师，每周有12小时的课程。这期间他完成了博士论文《泰勒级数所定义的函数的解析开拓》（此工作奠定了复变函数论的新基础），同时遇上了一位好学生弗雷歇（MauriceFréchet,-），后来弗雷歇成为著名数学家，在抽象空间理论、数学分析和概率论上多有建树。当时阿达马发现他有数学天赋，课后给他"开小灶"，假期也通过书信与他讨论数学问题。
沿着博士论文的方向前进，阿达马得到了著名的三圆定理，完善了庞加莱的一个结果，年出奇不意地获得法国科学院大奖。年与妻子一同移居葡萄酒之都波尔多。这个城市当时有25万人口，在15世纪时建有一所大学波尔多理学院。阿达马在这所学校先任讲师，讲授天文学和力学。年2月1日他成为天文学与理性力学教授，也就是说，他仅花了两年就被快速提升为全职教授。在波尔多，阿达马与迪昂又见面了。迪昂当时正在波尔多理学院讲物理。
米勒（D.G.Miller）年在科学传记词典中写到："迪昂是少有的，更不用说独特的科学家，他同时对科学哲学、科学编史学和科学本身（如热力学、流体力学、弹性学、物理化学）这三个领域达到了完全专业的水准，做出了重要的贡献。"[MazyaShaposhnikova,,p.64]他的许多纯科学工作现在已经被忘掉了，但他对科学理论之本性的深刻阐述，在整个20世纪科学哲学探索中却始终处于最前沿。但事与愿违，迪昂本人更看重的是科学家这一身份，而不什么科学史家和科学哲学家！16法兰西学院曾一度为他提供科学史的教授职位，但他拒绝了，他说自己是一名物理学家，并不希望通过走后门的方式重返巴黎。年他成为法兰西研究院的一名非固定成员，3年后死于心脏病，终年55岁。
早在高师当学生时，迪昂就写了一篇论文，他在化学和物理学中提出了热力学势的概念，批评了20多年前由贝洛特（MarcelinBerthelot，-）所做的工作。迪昂是正确的，但是贝洛特很在乎名声，为了免于自己的解释受到公开质疑，他拒绝迪昂的论文。年迪昂的这一结果才以书的形式出版，又用了十多年时间，他的观点才多少被学界接受。贝洛特的决定使迪昂的科学生涯蒙上阴影，从做博士论文开始一直持续到之后30年。年杰基（S.L.Jaki）在《不寻常的天才：迪昂的生活与工作》一书中说，如果当初迪昂不曾惹着贝洛特，他的一生就不会上演这出令人伤感的剧目了。
迪昂的人生经历有什么教训呢？真是一言难尽。也许，在羽翼未丰之时，人应当小心做事，别得罪大人物；也许，塞翁失马安知非福，科学界并不真的在乎一个或者多个迪昂，但科学史界和科学哲学界真的不能没有迪昂。因为自然科学界多几个迪昂对科学史并不会有根本性的改变，但科学哲学与科学史领域有没有迪昂，这两个领域的"学术地图"就需要完全重绘了。
阿达马当然也非常熟悉庞加莱的工作。庞加莱年7月17日去世，享年只有58岁，他的贡献遍及微分方程的渐近与定性理论、函数论、群论、非欧几何、流体动力学、拓扑学、数论、数学物理、天体力学、概率论、数学基础和科学哲学。阿达马的一些工作直接受到庞加莱的影响，如整函数、动力系统轨线、拓扑学与概率等。庞加莱去世不久，到年底，阿达马就已在杂志上发表两篇长文介绍庞加莱的工作。著名数学家莱维（PaulLévy，-）指出，庞加莱是惊人的天才，更新了几乎所有分支的数学，只有阿达马这样博学的数学家才能在短短的一个夏天全面总结庞加莱的工作。阿达马的评论文章其中一篇有41页，另一篇有85页。年，阿达马在刚过完47岁生日不久，被选为法国科学院院士。后来，在许多场合人们赞扬阿达马时，有人将他比作庞加莱。但是，阿达马觉得十分不配，有时竟然真的表示气愤，认为那样对比不合适。17有了这样的背景介绍，就不难理解迪昂在其科学哲学著作中引述阿达马的具体研究工作了。负曲率表面上的测地流
波普尔在论述非决定论时注意到的是阿达马在动力系统方面的一个结果。从现在的眼光看，阿达马研究的是负曲率表面上测地流的动力学问题，更难对付的是有凸障碍物的台球系统，西奈(Ya.Sinai)通过极复杂的证明才得出结论。
即使如此，阿达马的工作在一般人看来也不容易理解。
受年庞加莱关于微分方程定性理论及天体力学中三体问题的工作的启发，阿达马开始研究测地线问题。测地线是指曲面上的最短线，相当于大弧。阿达马的研究结果发表于年18和年的两篇论文中。开始考虑的是正曲率表面，后来考虑的是负曲率表面，他得到了一系列结果。在测地流方面的工作代表了他对分析力学和几何学的重大贡献。
阿达马最终将所有测地线分成三类：（1）由封闭的测地线构成，其他测地流则渐近地趋于它们。（2）由趋于无穷的测地流构成。（3）不属于上述任何一类的第三类，测地流穿行于不同的封闭的测地流的邻域。证明第三类测地线的存在，阿达马为非线性动力学做出了惊人的贡献。他是如何做到这一点的？他采用了后来称作"符号动力学"的技术，还用到了康托三分集的概念。符号动力学的方法后来被伯克霍夫（G.D.Birkhoff,-）19、莫尔斯(H.M.Morse,-)20、阿列克塞耶夫(V.M.Alekseev)21等所发展，现已成为探索复杂性的重要方法、工具，我国学者郝柏林、郑伟谋在这方面有系列成果。
阿达马证明，对于曲面上任意一点，不跑到无穷远处的测地流的初始方向集合，是完备的并且是完全不连通的。换言之，集合是闭的，没有孤立点也没有内点。这实际上就是具有分形（fractal）结构的康托集合。阿达马证明，测地流（假定它不跑向无穷）的初始方向的无穷小的改变，都会使最终的位置出现各种改变；而一条受扰动的测地流可以属于上述三种类型中的任一种。芒德勃罗伊（SzolemMandelbrojt，-，分形之父芒德勃罗的舅舅）年在为科学传记词典写阿达马条目时指出，正是由于这一现象，导致阿达马提出了"不当问题"的概念。年阿达马首次提出"questionsmalposées"的概念："天体力学的基本问题之一是，太阳系的稳定性问题，可能就落入了不当问题（ill-posedquestions）的类型。事实上，如果不考虑太阳系的稳定性问题，而考虑负曲率表面上测地流这样一个类似的问题，就会发现，通过对初始数据无穷小的改变，每一稳定轨线都可以变换为能通向无穷的完全不稳定的轨线。事实上，在天文学问题中，初始数据只能在一定的误差范围内得到。尽管误差可以很小，但这种误差可以导致要求的结果产生完全的、绝对的扰动。"[MazyaShaposhnikova,,p.]
所谓"不当"，不是指人们根本不应当提出这样的问题，如天体系统是否稳定，而是指通过深入研究，事后人们才明白，实际的情况与原来所预期的情况差别较大，问题本身已经发生了转变。对于天体力学系统，到底稳定还是不稳定？目前的研究成果显示，既稳定也不稳定！好像是在讲辩证法，但数理科学的研究结果的确如此。即使像太阳系这样的天体力学系统，我们也无法在二分法的意义证明它是稳定的还是不稳定的，长期行为在几何上比我们原来预期的要复杂得多。庞加莱无疑最先在理论上发现了这一点。到了20世纪中期，科尔莫哥洛夫提出KAM定理，这件事才算基本明确下来，即原来的"稳定性"概念本身就需要细化，要得出明确的结果需要附加其他条件。最终，原来的数学模型用于讨论实在的物理问题（实际的天体系统就是其一）时，不会是无限制有效的。对于极长期的行为，这类高度简化的力学模型本身就不合适了，它从数学角度所给出的动力学预言，已经没有物理意义了。这涉及"轨道"概念的若干哲学问题，布鲁塞尔学派有所论及，这里不展开讨论。
迪昂年在《物理学的目的与结构》中把阿达马的结果进行了更形象化的解释，并上升到科学哲学的层面做了一般性的表述。迪昂的确由此清醒地看到了数学模型演绎功能的限度。《物理学的目的与结构》第三章"数学演绎和物理学理论"讨论的全是这一件事，这是空前绝后的阐发：前人没有想到，后人本质上也难出其右。但由于迪昂的这一思想并没有被科学哲学界广泛吸收，今天仍然有仔细回顾的必要。
迪昂说，阿达马考虑的是一种非常简单的力学系统（用今天的话讲是一个简单的动力系统），从数学的角度看，这是一种确定性的系统，只要初始条件确定，随后质点在运动中所遵循的测地线就毫无含糊地被确定了。但是，“倘使初始条件不是数学地给定的而是实际地给定的，情况将迥然不同：我们的质点的初始位置将不再是该面上的一个确定的点，而是包含在一个小斑点内的一些点；初始速度的方向将不再是毫不含糊地确定的直线，而是包括在由小斑轮廓连结起来的窄束内的线中的某一条；对几何学家来说，我们在实际中确定的初始条件对应于不同初始条件的无限复合。”[迪昂，，页] 于是，理论上一个处于所研究表面上的质点，只要初始位置和速度给定，那么数学演绎能够决定质点的轨迹。“但是，对物理学家来说，这个演绎永远不能实现。事实上，当数据在几何学上不再已知，但是却由物理学程序像我们假定的那样精确地决定，所提出的问题依然是、并将总是没有答案的。”[迪昂，，页]
迪昂透彻理解了阿达马论文的科学哲学含义，在阐述了数学推导与物理解释之间巨大的鸿沟的基础上，还回答"测度"问题和具体"实例"问题。
对我们而言，我们刚才分析过的例子在我们所说最简单的问题之一上获得成功，人们在力学即最少复杂性的物理学理论中必须处理这个问题。这种极端的简单性容许阿达马透彻地深入研究充分暴露出某些数学演绎绝对不可挽回的物理无用性的问题。在许多比较复杂的问题中，如果有可能足够近似地分析解答，那么我们不会遇到那种诱惑人的结论吗？对这个问题的回答几乎是毋庸置疑的；数学科学的进步无疑将向我们证明，对数学家来说充分定义的众多问题，对物理学家而言却丧失了它们的全部意义。[迪昂，，页]
这段话讲述了这样几个问题：（1）力学系统，特别是阿达马所讨论的那个系统，在自然科学中尚属于简单的。的确如此，因为力学只研究哲学意义上的"运动"，对于"变化"和"发展"是不讨论的。（2）阿达马在此简单系统中发现了复杂性，它的结果表明数学与物理有时难以一致。这样的结果在20世纪80年代被大量重复，这时研究的主要是一维逻辑斯蒂（logistic）映射、伯努利移位系统、洛伦兹模型、范德坡方程、杜芬方程等。（3）科学进一步发展后，我们仍然无法回避上述问题。这一点是十分关键的。如果阿达马揭示的问题仅仅属于数学或者物理学发展的某一个阶段，那么这个问题也许不够重要。但事实上，这样的问题永远存在。
对末句“丧失了它们的全部意义”，可能要稍作解释。不应当把这句话理解成数学对于物理将毫无用处，事实上正是通过数学的发展，物理学才不断进步、深化，甚至认识到这个问题本身的存在性的。反过来也一样，物理学也促进数学的发展。迪昂说得如此绝对，可能只是想表明问题的严重性和不可消除性。对某个具体系统，在一定历史阶段，某个数学推导得出的结论可能完全没有物理意义，但并不能说对此系统的任何别的数学建模所得出的数学结果也没有物理含义。这个问题比较微妙，最终也涉及无法证伪的形而上学信念。
接着，迪昂举了天体力学的例子，即N体问题或者三体问题。迪昂很熟悉拉普拉斯和庞加莱的相关研究，深知此问题的复杂性。迪昂对太阳系统的稳定性，讲出一段略有争议的话，至少波普尔表示了一点疑问。
太阳系的稳定性问题对数学家来说肯定有意义，因为天体的初始位置和速度在他看来是以数学精确性已知的要素。但是，对于天文学家来说，这些要素只能通过包含误差的物理程序来决定，而误差则由于仪器和测量方法的改进而逐渐减小，但永远不会消除。因而，情况必然是，太阳系的稳定性问题对天文学家来说是一个完全没有意义的问题；他给数学家提供的实际数据对后者来说等价于彼此邻近、但却依然不同的无限的理论数据。也许在这些数据中间，存在着一些会永久地维持所有天体相互处于一定距离的数据，而其他数据则会把这些天体中的某一个抛入广漠的空间。如果类似于阿达马问题所提供的这样的境况应该在这里出现的话，那么与太阳系的稳定性有关的数学演绎也许对物理学家来说是他永远也不能够使用的演绎。[迪昂，，－页]
这段话把动力学不稳定性与天体系统的稳定性联系起来了，如果再结合19世纪和20世纪大批数学家、天体力学家对N体问题的持久研究，结果非常有趣也相当复杂。到目前为止《天遇：混沌与稳定性的起源》一书是对相关内容最精辟的介绍。上面一段话将结合波普尔的评论再做评论。从《开放的宇宙》可知，波普尔是仔细研究过迪昂在这一章中的论述的，而且很可能正是受了这一启发，波普尔构造了《开放的宇宙》中一半以上的关键性论证的。波普尔对阿达马的引用与评论
《开放的宇宙》共四章，另外有三个附录。四章正文讨论的全是决定论与非决定论，论证比较严密。波普尔对相关问题的基本观点早就有了，而且后来几乎一直保持不变，因此重要的不是他相信什么不相信什么，而是他给出了什么样的关键性证据。出现于第二章第14节的"阿达马的一个结果"就属于十分关键性的证据。
阿达马在年发表的一篇有趣的论文中讨论了一个简单的力学问题：质点以恒定的速度沿无限弯曲表面的测地线的运动。测地线指最短线，这里的弯曲表面是一种特殊类型，具有变化的负曲率，还假定没有不连续的情况。阿达马假定初始位置绝对精确地给定，他容许运动的初始方向在角度α内变化。他证明会有若干轨迹类型，特别是有：（1）轨道或者闭合的轨迹，包括那些渐近闭合的曲线，始于其上的点在运动中将永远与初始点保持有限的距离。（2）通向无穷的轨线，足够长的时间后，在其上运动的点与初始点的距离将会超出任何给定的值。[Popper,a,p.39]
在此处波普尔加了第2个脚注。此节中他共加了4个脚注，均十分重要。第一个脚注标出了他此节的内容来自阿达马年的论文，同时标明“另参见迪昂《物理学理论的目的与结构》第页。”此处的第2个脚注内容是：“阿达马区分了第三种类型的测地线，即边界的情形，此处我们不必
当然，仅从前两种类型，也能进行分析。只是波普尔说的"不必
我们考虑两个不同的闭合轨迹，它们是由邻近的、不同的初始方向演化出来的，初始方向之间的夹角为α。阿达马证明，即使我们让角度α如我们愿意的任意小，从此α角内（也就是说从我们可以选择的任何两个不同的闭合轨道内）仍然能够找到那样的初始点，其轨迹会通向无穷。
但是这意味着，对轨迹初始方向的测量，无论如何精确（某种绝对的数学精确性），都不能确定一个质点是在一条轨道上运动还是在最终通向了无穷的一条轨线上运动。当然，初始位置绝对精确地给定这样的假设，更是不现实的。换言之，这意味着，我们没法确定质点会以第一种方式运动还是以第二种方式运动，前者指质点运动中距起始点不超过某有限值，后者指质点会稳定地增加它与起始点的距离，最终跑向无穷。[Popper,a,pp.39-40]
上述两段说的是初始条件的分形特征。我们可以把初始条件换成[0,9]线段更简明地描述一遍。设A和B是线段[0,9]中任意两个初始点。假定由A出发，在动力学规则的作用下，它最后演化出的轨迹是闭合的轨道，而由B出发最后得到的是发散的通向无穷的轨迹。这说明A和B是不同类的初始点。下一步是在A的附近找一个与A同类的点A1，假定A1大于A，A和A1形成一个小区间[A，A1]，现在我们就专门考察这个小区间，它就相当于上述的α角。阿达马的证明相当于，我们在[A，A1]中总是可以找到与A和A1不同类的点，由那样的点出发，经动力学规则的作用最终得到发散的轨迹。那么是不是这个区间[A，A1]太大了呢？也许是，但是，无论把它变得如何小，我们仍然能够找到不同类的点！比如说我们再在A的更小的邻域内找到同类点A2,现在考虑更小的区间[A，A2],在此内部，仍然会发现"敌人"，即不同类的初始点。即使我们考虑[A，A3,]、[A，A4]、[A，An]等，也无济于事。当然，这只是一种理想化的、简化的、示意性的描述，实际情况比这要复杂。
波普尔由此得到他所需要的结论：
因此，我们以前讨论的"科学"决定论的强版本被阿达马的结果反驳了。因为，如阿达马指出的（此处加了第三个脚注），任何精度的初始条件都不可能使我们预测一个（多体的）行星体系在拉普拉斯的意义上是否稳定。这是因为这样的事实，决定了轨道的数学上完全精确的初始状态，和决定了通向无穷的测地线的另外的初始状态，对于任何物理测量，是无法区分的。阿达马以此拒斥了拉普拉斯（关于天体系统稳定性）的结果，此结果很可能是阿普拉斯"科学"决定论观念的一个主要思想来源。[Popper,a,p.40]
波普尔第三个脚注的内容是：“参见阿达马年论文第71页（第59节）。阿达马说，他的结果暗示，太阳系稳定性的问题，似乎不再有任何意义。我不同意。证明一个预测问题不能基于任何一种理论以及对初始条件的任何精确测量来进行计算，并不能使问题本身成为无意义的。毋宁说，它证明此问题是不可解的。不可解的问题并不是无意义的问题。对其不可解性的发现也是对问题本身的一种阐明，有如对其解的发现一般。”[Popper,a,p.40，脚注]
实际上阿达马（及迪昂）与波普尔讲的都对，但说的不是一个层面的问题。阿达马是针对拉普拉斯等人就天体力学系统之稳定性的"严格证明"的。阿达马的意思可能是，基于他的发现，即初始条件的分形特征、系统的高度不稳定性，原来所设问题的拉普拉斯意义上的稳定性讨论，从物理学而非数学的角度考虑，就不再有意义了。因为实际的天体系统究竟在极长的时间后是否稳定，已经不是那个数学模型所能刻画的了，或者严格说不是力学式的模型所能对付的了。因为考虑极长时间，天体系统虽然依然满足牛顿定律，但当初的力学建模已经大大失真，其他非力学的因素可能已经跃居主导地位，比如天外意外飞来了一颗天体，比如天体本身经历了剧烈的物理、化学、生物变化等等。也就是说，在阿达马眼里，要得出有意义的关于天体系统稳定与否的结论，其中的时间变量不能无限长，甚至不能有限地很长。那么一个具体问题是：“多长时间算长？”这是一个有趣的问题。对于分子、原子系统，一秒钟可能就是极长的时间（有时竟相当于无穷长的时间），而对于天体系统，一般以百万年为单位，所以几百万年仍然不算长时间。这不算一个严重的问题，但这样的时间不能先验地确定，必须针对具体类型的系统，依据经验来确定。
而波普尔的论述也完全正确，证明一个问题是不可解的，这本身也是一种重要的科学推进，当然是有意义的。实际上波普尔在脚注四中把他的观点做了进一步发挥，与数理逻辑、可计算性的理论进行了联系。
波普尔确认，阿达马的结果否定了强决定论，但对弱决定论并不构成损害："然而，如我所见，阿达马并没有拒斥我上面所定义的较弱的科学决定论的教条。"[Popper,a,p.40]理由是，对于确定性系统，对于任意给定的时间，假定一定的对初始条件的测量精度，质点的状态一定程度上仍然是可预测的。这取决于预测任务所要求的时间有多长，以及对于预测所要求的精度。这种理解完全正确，但是表达得仍然不够明确。对于任一非线性动力学系统，即使其中可以出现高度不稳定的浑沌行为，只要预测任务设定的预测时间跨度非常小，比如以离散系统为例，已经n=0阶段的初始条件和动力学规则，由此预测n=1,n=2,n=3等等阶段系统的状态，通常是完全可行的，甚至可以以非常高的精度做到。在这些邻近区域内，这个系统仍然可视为完全决定论的，说它是弱决定论也可以，甚至说成强决定论也是可以的。数学上，动力系统就是确定性系统，英文是一个词，也叫决定论系统。问题的关键不在这。深刻的问题在于："谁能根据什么划分出可行的预测与不可行的预测？"对于上述离散系统而言，谁能明确说出当n大于k时以后的结果不再有意义？这样的判断是不可能根据方程（数学模型）本身先验地判定的，一个数学模型可以对应无穷多种可能的现实物理过程（如logistic方程既可以描写虫口演化，也可以描写经济过程，即使描写虫口问题，其中的中"虫口"也可以作多种解释，实际上大量"物种"都可以包括在内），其中的物理量可作多种解释，时间的单位原则上也是可以任意约定的。但是，对于任何这样的系统，原则上都存在一个临界时间T＝M/（λ-L）。其中λ为李雅普诺夫指数，L为利普希兹常数。在T之内，预测是可接受的，在T之外预测是不可接受的。但T究竟取多大的值，除了与系统本身的性质（如李雅普诺夫指数和利普希兹常数）有关外还与常数M的取值有关，而M是与物理要求有关的。
波普尔在这一节的最后一句话为：“我们不能预测的是，系统在所有时间瞬间（allinstantsoftime）的行为。”这是一句十分有启发性的描述，波普尔在此话后加了第四个也是最后一个长的脚注：“在这一阐述中，对于所有的和对于任意给定的"之间的区别，与哥德尔发现的事实有某种类似性：虽然我们能够对任意给定的算术命题构造一个形式化理论，在其中此命题是可判定的，但是我们不能构造一种形式化理论，使得所有的算术命题是可判定的。记住这种类似性，我们就可以说，阿达马的问题（此问题问，其初始条件以任意有穷精度给定的一个多体系统，是否会处于某种特定的状态）是一个物理上不可判定的（physicallyundecidable）问题。”22
也许，“所有时间瞬间”的字眼也会令人不满，因为现实中人们并没有提出那样非份的要求。但是，问题的症结在于，数学家通常只能是对有代表性的类型给出明确的断言，在各个类型之间，可能出现什么数学家不可能全部帮上忙。在物理的意义上，类型的划分从来不是绝对的。于是，在实际可能中，当数学家说某若干类型会如何如何，而实际的物理过程恰好涉及（只能是模糊地）那些类型，那么数学家断言的所有可能性都可能发生，物理学家必须一一加以考虑，不能先验地排除某一种可能，特别不能因为某某是小概率事件而把某某加以排除。在物理系统中，惊人的事件，往往原来认为是小概率的事件，实际上却发生了。其实，发生的每一件事都可以被理解为世上独一无二的事件，都是小概率事件。从其未发生到发生，其发生概率由零变成了1。概率的计算与当事人所
波普尔是一个非决定论者，这是毫无疑问的，他反复强调这一点，一生的学术轨迹都与此有关。23非决定论者的含义是，他或者她相信至少存在一个未来事件不是通过科学的办法可以完全预测的。这是最弱的版本，实际情况要比这强一些或者强许多。
这究竟是因为他先找到了一堆论据然后才成为非决定论者，还是他起初就是一个非决定论者后来不断论证这一观念呢？这恐怕难以明确回答，不过，按照波普尔的科学哲学，他很可能是先有一个“猜想”：即非决定论是有道理的，然后一生中都在为此寻找更多的证据，不断阐发它。
在《科学发现的逻辑》一书中，特别是其78节，波普尔论证非决定论仍然限于量子力学，没有直接讨论经典力学的情况。78节的标题为“非决定论的形而上学”。他首先谈到当前关于宏观定定律和微观定律存在着二元论，逻辑上有可能把一切已知的精确陈述还原为频率陈述，反过来则行不通，即决不可能从精确陈述演绎出频率陈述。“逻辑境状就是这样。它既不支持决定论也不支持非决定论。”[Popper,,p.]这个世界是否受严格定律的支配？这是个形而上学的问题。同样，对因果性的信念，也是形而上学的。[Popper,,pp.-]但有趣的是，波普尔对量子力学引发的非决定论一方面肯定一方面仍然有所保留：“海森堡的公式不一定导致非决定论的结论。”[Popper,,p.]（此处另参见R.W.Workman的论文）因为科学家决不会放弃进一步探索定律的决心，因果性的形而上学比对海森堡支持的那种非决定论形而上学，更富有成效。似乎波普尔在此并不拥护非决定论。其实他的信念并没有变，只是他不大赞成哥本哈根学派的解释罢了，他对世界非决定论的现有论证仍然不满意。
波普尔在78节的论述不够有说服力，他用因果性、世界的规律性来对付决定论问题。虽然这三个问题有联系，但严格说分属于不同的层面。一个非决定论者可能同时是非因果论者，但一个非决定论者也可能同时是因果论者，比如波普尔本人。因此用因果性以及是否存在某种规律性来质疑量子力学的某种解释，完全是不恰当的论证。“从历史的观点看，非决定论物理学的涌现是完全可理解的。长期以来，物理学家信仰决定论的形而上学。因为逻辑境状没有得到充分的理解，从原子的力学模型中导出有统计学效应的光谱，其各种尝试的失败必定产生决定论的危机。今天我们清楚地看到，这种失败是不可避免的，因为不可能从原子的非统计的（力学）模型中导出统计定律。决定论的大厦坍塌了，主要是因为概率陈述被表述成为形式上单称的陈述。在决定论的废墟上，非决定论崛起了，得到了海森堡不确定性原理的支持。但是，如我们现在看到的，它之崛起同样误解了形式上单称概率陈述的含义。”[Popper,,p.]24
不过，也许正是这种不满意导致波普尔在准备《研究的逻辑》的英文版《科学发现的逻辑》之间，写出了《后记》中的《开放的宇宙》。在《历史主义的贫困》序言中波普尔给出了线索：“我已证明，由于纯粹的逻辑的理由，我们不可能预测历史的未来进程。这个论证包含在年发表的《经典物理学和量子物理学中的非决定论》一篇论文中。但是我现在又不再满意这篇论文了。在我的《科学发现的逻辑》的《后记：二十年之后》中讨论非决定论的一章，有更满意的论述。”[波普（波普尔），，1页]实际上，《后记》中岂止有一章讨论非决定论，《量子理论与物理学的分裂》和《开放的宇宙》中有许多章节在讨论决定论与非决定论。这一线索表面只是讲他发现了关键性的逻辑论证："如果有不断增长的人类知识这回事，那么我们今天就不可能预先知道我们明天才会知道的事。"[波普（波普尔），，2页]这是贯穿波普尔《开放社会及其敌人》和《历史主义的贫困》中的核心思想25，对于否定决定论当然是十分重要的，但是与本文的讨论仍然没有直接关系。波普尔在序言中所提供的有用线索是年发表的《经典物理学和量子物理学中的非决定论》，特别是他提到经典物理学的非决定论，而这是《开放的宇宙》一书的中心论题。
《开放的宇宙》第一章第一节第一句就是：“我打算在这里阐述我是非决定论者的若干理由。”[Popper,a，p.1]此句后面有一个脚注：“《后记》的这一部分可视为对我的下述论文的改进：量子物理学与经典物理学中的非决定论，《英国科学哲学杂志》，第1卷第2期，第－页，及第3期，第－页。”《后记》编者巴特利在此补充说，还可以参见波普尔的文章“钟与云：关于合理性问题与人的自由的一种探讨”26，圣路易斯，年，重印于《客观知识》，伦敦，年。[Popper,a，p.1]此脚注基本指明了波普尔关于非决定论思想的发展经过。
年《英国科学哲学杂志》上连续两期以冗长篇幅刊出的长文，主要思路是参照拉普拉斯无穷版本的科学决定论，构造出一个有穷版本的科学决定论，然后动用当时数理逻辑和可计算性理论的最新成果，反驳了科学决定论。27 事后，特别是在今天，人们有充分的理由认为波普尔有良好的感觉，即猜想能力，当时却没有构造出令人信服的论证，虽然他费了许多笔墨。如WalterHoering指出的，“尽管波普尔的推理是可以批评的，但他得到了正确的结论。”[Hoering,,p.]句中的“批评”主要指G.F.Dear于年对波普尔十多年前文章的反驳。叙述G.F.Dear的反驳又必须先叙述波普尔的长文，这不是本文的任务。28没有查到波普尔对G.F.Dear文章的任何回应，但从后来《开放的宇宙》的正式出版看（特别是第一页的脚注），波普尔承认了自己当年论证的缺陷。在霍根的访谈中，波普尔骄傲地指于自己早在现代浑沌学家之前就得出了经典力学之非决定论的正确结论。的确如此。不过要稍明确一下细节：年波普尔就有明确的"猜想"，但给出了不合格的论证；－年间他找到了新证据，即写了《后记》之《开放的宇宙》，但一直到年才正式出版。按最后的出版时间年算，波普尔的结论（即经典力学也是非决定论的）仍然先于当代主流浑沌学家或者在时间上持平。29
无论如何，从霍根的采访中可以看出，波普尔对自己的先见之明还是颇得意的。毕竟他先于当代一线科学家注意了浑沌的科学思想史，把根子追溯到迪昂、阿达马。而加入浑沌热的多数年轻人可能在别处见过阿达马这个名字，迪昂这个名字则可能从来未听说过。
在《开放的宇宙》中第15小节，波普尔说：“我个人相信非决定论的信条是对的，而决定论是完全没根据的。我的这一信念的各种重要的理由之一，是直觉上的论据：一件新作品，比如莫扎特的G小调交响曲，不可能由一位物理学家或者生理学家，通过详细研究莫扎特的身体，特别是他的大脑，及其物理环境，而在所有细节上加以预测。”[Popper,a，p.41]决定论问题非常复杂，牵涉到科学哲学和心灵哲学的许多概念，必须剥离那些次要的问题，集中对付自然科学中出现的“科学”决定论，才能使问题的讨论得以深化。波普尔对此工作程序非常在行，特别是有了年工作的基础。“我坦率地承认，这一点与传统上的自由意志问题密切相关，不过我不想讨论它。这里真正令我感兴趣的，恰好是我们的莫扎特的例子中提出来的一个问题，这个世界是否是这样的：通过科学的理性方法，只要我们知道得足够多，我们原则上就能够预测非常独特的事件，如在每一个细节上预测一部交响曲的创作。这是我在此领域内唯一感兴趣的问题。我必须把这个问题表述得相当清晰，因为我讨厌去分析自由和意志这些词的含义，我也不愿意分析莫扎特或者别的什么人或许可以与他做得不一样。”[Popper,a，pp.41-42]
追求清晰性，回避语言纠缠，是波普尔的一贯作风。在《开放的宇宙》第一章，波普尔就界定了自己的任务：
我的中心问题是，考察用以支持我所称谓的“科学”决定论之论证的有效性。科学决定论是关于世界结构的一个信条：如果知道了对过去事件的充分精确的描述，并且知道所有的自然定律，那么我们就能以任意所需的精度合理地预测任何事件。
此问题变得突出，主要是由于量子力学的倡导者们时常对情况作了下述描述：他们说，经典物理学导致我所说的“科学”决定论，只有量子理论才迫使我们拒斥经典物理学，于是也就随之拒斥了其“科学”决定论。与此论调相反，我试图阐明，即使经典物理学有效，也不会向我们强加关于世界的任何决定论的信条。[Popper,a，pp.1-2]
最后一句突出了波普尔的新认识：不是量子力学，而恰好是经典物理学，首先否定了“科学"决定论。波普尔在《开放的宇宙》中其他场合也反复强调这一核心观点，如“虽然我不认为量子力学是物理学的最终结论，但我却恰好相信它的非决定论在根本上是正确的。我认为，甚至经典物理学原则上也是非决定论的。”30这种认识到了20世纪80年代末，物理科学界（数学界的情况稍有不同）才达成共识，那主要是因为在经典力学的框架内大批关于浑沌、分形等非线性科学的研究成就的涌现。然而波普尔得出此结论时，还没有非线性动力学的大规模研究。浑沌的物理科学研究（力学只是其一）从19世纪中期到20世纪末这一百多年里，在中间长时间跨度中似乎是中断的。在20世纪，“科学的世界图景”基本上由量子力学和相对论来描绘，人们关于大自然偶然性、概率性的理解也主要依赖于量子力学。波普尔在分析、理解了量子力学的哲学含义后反而跳出量子力学，在宏观层面，从经典物理学寻找非决定论的证据，这确实是非同寻常的。
康德接受了牛顿力学，也随之接受了其决定论。仅仅由于此决定论与其道德信念相矛盾，他才抛弃了牛顿力学的决定论，但康德不得不承认决定论是被科学所证实的、不可否认的事实。“这就导致了他（康德）的哲学体系有一个矛盾，永远无法令人满意地解决。然而，如我将设法证明的，牛顿力学不会必然导致‘科学’决定论。如果我是对的，那么康德就错误地以为接受了牛顿力学他就有义务接受‘科学’决定论。他未能解决的矛盾，其实根本就不存在矛盾。”[Popper,a，p.7]我们无法设想，康德如果知道决定论与牛顿力学可以适当分离，会怎样建构他的哲学体系。在他那个时代，康德以及其他人大概只能那样思考。康德甚至错误地认为牛顿力学是“必然真理”。31
关于科学决定论的起源，波普尔也有极好的论述。虽然科学决定论的观念与宗教决定论的观念必然有联系，但换种角度考虑更自然些。人们从常识中知道，所有事件可分成两类：可预测的和不可预测的，前者以"钟"为代表，后者以"云"为代表。波普尔指出，钟与云的分别也是相对的。在人类认识的过程中，云类事物确实一定程度上可以转化为钟类事物，但是并非无限度，到了一定阶段，就无法继续。相反，钟类事物也可以变成云类事物。这表明，可预测的事件（如行星或者钟的运动）与不可预测事件（如天气或者云的运动）之间，常识性的区分是无效的。[Popper,a,pp.18-19]在20世纪末回头看当代自然科学图景的变迁，我们不得不佩服波普尔选择的两个典型是多么合理！新的科学观是从钟到云的转变，此间经历了漫长的过程，此过程与一部书名《从摆钟到混沌》（FromClockstoChaos，作者为格拉斯和麦基，英文版年）完全一致。郝柏林曾说："对于同一个自然界，物理学中有决定性和概率性两种描述。在牛顿创立古典力学之后年间，直至20世纪20年代为止，决定论长期处主导地位，基于概率论的统计描述，原则上只能视为不得已情况下采用的辅助手段而已。"32郝先生又说完全的决定论与完全的概率论都隐含着承认某种无穷过程是可实现的，而在大多数情况下这种要求是过分的。"决定论还是概率论？二者的关系可能是非此非彼，亦此亦彼。更真实地反映宏观世界的观念应是基于有限性的混沌论。"[郝柏林，，页]
按照当代法国浑沌学家吕埃勒（DavidRuelle）的说法，在形成20世纪下半叶浑沌理论热中，阿达马、迪昂和庞加莱的物理洞察力没有起到应有的作用。庞加莱等人对于"对初始条件的敏感依赖性"的认识，与现代人的重新发现之间，存在着一个巨大间隔。吕埃勒尝试对此"令人困惑的历史鸿沟"给出两点解释：一是量子力学的兴起改变了物理学的科学观念，试想当量子力学引入了更本质的关于机遇和随机性之来源的思想时，谁还理经典物理学中的"对初始条件的敏感依赖性"呢！第二，他们的思想来得太早了，大规模开发它们的工具还没有出现，如庞加莱手头没有测度论、遍历定理等数学工具，他也就不能用更精确的语言去表述他的直觉。当代的科学家、数学家在理解庞加莱的思想时，其实某种程度上也在重构其几何图景，因为此时人们已经拥有了一整套概念体系，而此概念体系在庞加莱时代是没有的。另外，如果数学推理之路走不下去，当代人还可以用计算机做"数值计算实验"，这在探索浑沌与复杂性中是十分关键的，但庞加莱时代也没有这种工具。33 吕埃勒的解释是相当在理的。在物理学、生物学、气象学领域，浑沌被重新发现的事实，也再次令人们思索物理科学与数学的关系，思索如何对待科学传统的问题。传统如何再次焕发青春，是无法预测的事情，重要的是平时要设法把传统"续上"，不让它间断、湮灭。"接续"传统也有许多层面的平行的工作要做。科学家在一个层面，哲学家在另一个层面。波普尔的工作基本属于哲学层面，他的杰出表现表明，哲学界有能力、有洞见将阿达马、庞加莱的思想传习下来。他做得至少不比科学界更差。可测算性（accountability）原则与稳定性条件
在反驳"科学"决定论时，波普尔造了一个新概念accountability，很难翻译成中文，大约可译作"可测算性"、"可说明性"、"可估测性"，这个概念在《科学发现的逻辑》中并没有出现过。波普尔很重视这个新提法，在《开放的宇宙》第一章有三个小节都讨论了这个问题。其中第三小节的标题就是"可测算性原则"。第三章有一节还讨论了经典物理学的可测算性。这个概念与迪昂也有直接联系，后面会谈到。
可测算性是与"科学"决定论相一致的一种要求。
科学上的预测总是存在误差，误差在多大范围内是可忍受的？把这种条件表述出来就有了可测算性的概念：“换言之，我们的理论必须能够测算预测中的不精确性：给定预测中我们所要求的精确度，用此理论就能够使我们计算出来，在为我们足以提供所要求之精确度的预测时，初始条件（应当具有）的精确度。我称这项要求为‘可测算原则’（principleofaccountability）。必须把这一条原则体现在‘科学’决定论的定义中。”[Popper,a，p.11]
此叙述有两个要点。第一，可测算性是从后向前推的一种要求，其方向与预测过程正好相反。即如果要达到什么样的预测精度，初始条件应当如何。能够明确地给出此种条件，则可视为满足了可测算性原则。“科学”决定论如果成立，则必须满足此原则。
实际问题中，某些预测任务是"可测算的"，即满足可测算原则，而有些预测任务不是可测算的。
可测算性在某种意义上是一种很强的要求，它提出了时间上的要求。不是在预测结束之后而是在预测开始之前，提前搞清楚对初始条件的要求，以及能否实现此要求。随着科学的发展，人类的预测能力不断增强，但仍然没有根据说可测算原则都能得到满足。可测算性有强弱之分。“科学”决定论需要强意义上的可测算性，科学决定论蕴涵了可测算性原则。“如果我们没有理由认为可测算性原则普遍地得到满足，那么这就清楚地表明我们没有理由相信科学决定论。”[Popper,a，p.14]波普尔认为，经典物理学是强意义上不可测算性的，但也没有理由认为它在弱意义上都是可测算的。
只要没有解决牛顿动力学中一般的n体问题的真正希望，就毫无理由相信牛顿动力学是可测算的，即使是弱意义上的“可测算性”。
而且，当我们继续考虑强意义上的可测算性时，我们发现有充足的理由相信，牛顿动力学是不可测算的。[Popper,a，p.51]
现在看来，波普尔的关于不可测算的这一思想，与非线性动力学有着显然的联系。波普尔的《开放的宇宙》也透露了这方面的信息。波普尔在脚注中再一次指出他所表述的思想与迪昂的一种表述类似。“因此，任何令人满意的科学决定论之定义，都必须基于可测算性原则，即我们能够根据我们的预测任务（当然，还要加上我们的理论），计算出所要求的初始条件的精确度。”[Popper,a，p.12]正是在这一句之后，波普尔加了一个脚注：“迪昂提出了类似的原则，但是那是在不同的语境中（不是讨论决定论），并且有着不同的着眼点。”[Popper,a，p.12,脚注]
波普尔提到的迪昂的话是指这样一段极为重要的论述：
要对物理学家有用，还必须证明，当第一个命题只是近似地为真时，第二个命题依然近似地精确。甚至这还不够。必须界定这两个近似的范围；当测量数据的方法的精确程度已知时，必须固定在结果中能够导致的误差的限度；当我们希望获悉在确定的近似度内的结果时，必须确定能够被认可的数据的概差（probableerror）。[迪昂，，页]
迪昂的书英文版出版于4年，波普尔提到的也是这个版本，波普尔的《开放的宇宙》声称写于年之前。有足够的理由认为，波普尔是向迪昂学习才构造出他的"可测性原则"的。这当然也是科学哲学中重要的进展，因为别人并没有很好地领会迪昂的伟大论述，从而用它来加深对决定论问题的理解。
迪昂是在什么语境下讲这些话的？恰好是讲阿达马的例子，庞加莱的努力，N体问题等等。波普尔说得倒不错，迪昂在此不是讨论决定论问题。但是迪昂在讨论一个非常相关的问题，与波普尔讨论的具体内容完全一样，因此不能说语境不同。至于有着不同的着眼点（differentaiminmind），那倒是不假的或者比较含糊的。迪昂当时讨论的主要是数学推理与物理学过程对照时可能出现的问题，他发现有些数学推理结果是无法"翻译"为物理结论的。可翻译的条件是什么？迪昂确实指出了，这就是与波普尔提出的可测算性相类似的一种条件。
这种条件，在今天非线性动力学已经比较发达的时候，可以用某种“稳定性条件”来更明白地表述。也就是说，迪昂、波普尔讲的科学预测中要求的条件，相当于非线性动力学中讲的结构稳定性和运动稳定性的结合。前者对应于安德罗诺夫（A.A.Andronov,-）和庞特里雅金（L.S.Pontriagin,-）的结构稳定性、鲁棒性，后者大致对应于李雅普诺夫（A.M.Lyapunov,-）稳定性。在动力学中，这些稳定性都有明确的数学定义和物理含义。
至此，波普尔利用非线性动力学的进展已经系统地证明：在相当多的情形之下，经典力学无法满足可测算性原则；“科学”决定论是一种幻想；首先是经典物理学而非量子力学瓦解了决定论的信条；引用自然科学和数学的结果为任何一种决定论辩护，均是有问题的。
小 结
波普尔在《开放的宇宙》中对宗教决定论、“科学”决定论和形而上学决定论的用力程度很不同。形而上学决定论只断言世界上的事件都是确定性的、不可改变的，或者说预先决定好了的，但不声称有任何人知道它们或者可以用某种手段做出预测。这种形而上学决定论是不可检验的。实际上它是非常“弱”的断言，既被宗教决定论所蕴涵也被“科学”决定论所蕴涵，它是各种决定论的共同点。考虑到这一点，波普尔没有特别去反驳它。34
波普尔对非决定论论述的特点是，以反驳“科学”决定论为重点，指出经典物理学是非决定论的，抛弃了早先的“有穷预测器”的模型，引用了非线性动力学的新证据等等。他的猜想和论证均远领先于同时代的科学和哲学。
科学哲学当年是从西方哲学前沿和20世纪理论自然科学的前沿诞生的，有那么一批有哲学头脑的科学家或有科学头脑的哲学家，创立并发展了20世纪的科学哲学，如庞加莱、弗兰克、迪昂、石里克、罗素、卡尔纳普、费格尔、赖辛巴哈等。如今，科学哲学在“科学元勘”诸多分支学科中相对成熟些，早已进入世界各国的大学课堂。20世纪60年代以来，科学哲学本身也面临着许多危机，但一直没有走出新道路，虽然激发出许多非科学哲学的研究。原因很多，其中之一或许是，现在的科学哲学家自大地以为，可以不
本文讨论波普尔论证非决定性这样一个具体案例，也是想表明，要向波普尔学习。他是一位有科学头脑的哲学家，但本质上他的哲学完全不同于一般的学院派哲学家。他的作品条理清楚、用词简单、句子结构也十分简明，完全不像某些学院派哲学家故做深沉的情况。他
波普尔懂得量子力学和相对论，了解历史上的科学，熟悉哲学史，从本文看他也十分
最后想强调一点，波普尔没有用同等力气反驳所有形式的决定论，他重点反驳的是“科学”决定论，即以科学的可预测为根据的决定论。本文讨论的也仅限于此。我认为，对于成功反驳“科学”决定论，他的任务已完成，其他形式的决定论基本上是一种纯信仰。
波普尔关于非决定论的讨论是十分丰富的，他最终仍然认为“非决定论是不够的”。非决定论只是一个必要条件，远不是充分条件。他说：“非决定论是不够的：要理解人类的自由，我们需要更多；我们需要世界1向世界2开放性、世界2向世界3开放性，以及世界3--人类心智产品的世界特别是人类知识的世界--的自治的和内在的开放性。”[Popper,a,p.] 显然，“开放”的概念，更为重要。
参考文献Agnes,C.andRasetti,M.().UndecidabilityandChaos.In:ChaosinEducation:TeachingNonlinearPhenomena-Ⅱ,G.Marx(ed.).NationalCenterforEducationalTechnology.ProceedingsoftheInternationalWorkshoponTeachingNonlinearPhenomenaatSchoolsandUniversities.LakeBalaton.Hungary.87-96p.Alekseev,V.M.andYakobson,M.V.().SymbolicdynamicsandHyperbolicDynamicSystems.,Phys.Rep.75:-.Birkhoff,G.D.().SurfaceTransformationsandTheirDynamicalApplications,ActaMath.43:1-Bloor,D.().KnowledgeandSocialImagery，ChicagoandLondon:UniversityofChicagoPress,2nd.Brillounin,L.().ScientificUncertainty,andInformation.NewYorkandLondon:AcademicPress.Corvi,R.().AnIntroductiontotheThoughtofKarlPopper.LondonandNewYork:Routledge.Dear,G.F.().DeterminisminClassicalPhysics.BritishJournalforthePhilosophyofSceince.11(44):-.Feigl,H.().Notesoncausality.In:ReadingsinthePhilosophyofScience.FeiglandBrodbecked.NewYork:Appleton-Century-Profts.Hacohen,M.H.().KarlPopper:TheFormativeYears(-).Cambridge:CambridgeUniversityPress.Hadamard,J.S.H.().Lessurfacesàcourburesopposéesetleurslignesgéodésiques,JournaldeMathématiquespuresetappliquées,5thseries,4:27-73.Hadamard,J.S.H.().Surcertainespropriétésdestrajectoriesendynamique.MémoirecournnéenparlAcadémie:PrixBordin,J.Math.Sér.5(3):-(?uvres4:-).Hoering,W.().IndeterminisminClassicalPhysics.BritishJournalforthePhilosophyofSceince.20(3):-.Hutchison,K.().IsClassicalMechanicsReallyTime-ReversibleandDetermnism?.BritishJournalforthePhilosophyofSceince.44(2):-.Mazya,V.andShaposhnikova,T.().JacquesHadamard:AUniversalMathematician.(HistoryofMathematicsVol.14).RhodeIsland:AmericanMathematicalSociety.Morse,H.M.().RecurrentGeodesicsonaSurfaceofNegative,Trans.Amer.Math.Soc.,22:84-.Popper,K.R.(a).IndeterminisminQuantumandinClassicalPhysics.PartI.BritishJournalforthePhilosophyofSceince.1(2):-.Popper,K.R.(b).IndeterminisminQuantumandinClassicalPhysics.PartII.BritishJournalforthePhilosophyofSceince.1(3):-.Popper,KR.().TheLogicofScientificDiscovery.NewYork:Routledge.Popper,K.R.(a).TheOpenUniverse:AnArgumentforIndeterminism.London:Hutchinson.Popper,K.R.(b).QuantumTheoryandtheSchisminPhysics.LondonandNewYork:Routledge.Popper,K.R.().RealismandtheAimofScience.London:Routledge.Popper,K.R.().UnendedQuest:AnIntellectualAutobiography.London:Routledge.Ruelle,D.().ChanceandChaos.Princeton:PrincetonUniversityPress.Schilpp,P.A.(ed.)().ThePhilosophyofKarlPopper.LaSalle,Ill.:OpenCourt.Simkin,C.().PoppersViewsonNaturalandSocialScience.LeidenandNewYork:E.J.Brill.Szebehely,V.().NewNondeterministicCelestialMechanics.In:SpaceDynamicsandCelestialMechanics,K.B.Bhatnagar(ed.).DordrechtandBoston:D.Reidel.3-14p.Wightman,A.S.().TheMechanismsofStochasticityinClassicalDynamicalSystem,PerspectivesinStatisticalPhysics.H.J.Raveché(ed.).Amsterdam:North-Holland.-p.Workman,R.W.().IsIndeterminismSupportedbyQuantumTheory?.BritishJournalforthePhilosophyofSceince.26(3):-.波普（波普尔）().《历史决定论的贫困》.杜汝楫、邱仁宗译.北京：华夏出版社.波普尔().三个世界.纪树立译.见：《科学与哲学》（研究资料）.北京：自然辩证法通讯杂志社出版，(03):－；.波珀（波普尔）(a).《科学发现的逻辑》.查汝强、邱仁宗译.北京：科学出版社.波普尔(b).《猜想与反驳：科学知识的增长》.傅季重等译.上海：上海译文出版社.波普尔(a).《开放的宇宙》.李本正译.杭州：中国美术出版社.波普尔(b).《开放社会及其敌人》（第一卷）.陆衡等译.北京：中国社会科学出版社.波普尔(c).《开放社会及其敌人》（第二卷）.郑一明等译.北京：中国社会科学出版社.波普尔().《无尽的探索卡尔·波普尔自传》.邱仁宗译.南京:江苏人民出版社.波普尔(a).《客观知识：一个进化论的研究》.舒炜光等译.上海：上海译文出版社.波普尔(b).《走向进化的知识论：通过知识获得解放续集》.李本正、范景中译.杭州：中国美术出版社.波普尔().《二十世纪的教训:卡尔·波普尔访谈演讲录》.王凌霄译.桂林:广西师范大学出版社.迪昂（）.《物理学理论的目的和结构》.李醒民译.北京：华夏出版社.郝柏林（）.世界是必然的还是偶然的，《二十一世纪》（香港）.3.郝柏林（）.《混沌与分形》.上海：上海科学技术出版社.霍根().《科学的终结》.孙雍君等译.呼和浩特：远方出版社.吕埃勒().《机遇与混沌》.刘式达等译.上海科技教育出版社.邱仁宗().《科学方法和科学动力学》.上海：知识出版社.索罗斯().《开放社会：改革全球资本主义》.北京：商务印书馆.夏基松().《波普哲学述评》.哈尔滨：黑龙江人民出版社.赵敦华().《卡尔·波普》.台北：远流出版事业股份有限公司.1本文曾提交年第十二届全国科学哲学会议，年8月12-14日，长沙中南大学。2波普尔的老朋友ColinSimkin认为自然科学家中应当有更多人了解波普尔的思想，从中汲取营养。3波普尔承认，他的“形而上学研究纲领”，与库恩后来提出的“范式”概念比较接近，但也有不同之处。他说：“我用这一术语，希望人们注意到这样的事实，在科学发展的几乎每一阶段，我们都受形而上学观念的影响，这些观念是不可检验的。这些观念不但决定了我们选择什么的问题去探索，而且决定了我们会考虑什么样的回答是适合的、令人满意的或者可接受的，以及什么样的回答才算改进、推进了早先的答案。”[Popper,b,p.]这与库恩的观点的确有些相似。4称它们为“研究纲领”，是因为它们隐藏在理论背后，在更深的层次成为某种标准，决定了什么是成功的说明，决定了什么是当下最重要的问题。它们是推断性的、猜测性的，本身不是科学理论，但在一定条件下可以变成科学理论。波普尔还总结出从古希腊到现在科学史上出现的10种研究纲领。5如果特别考虑这一点的话，20世纪其他科学哲学大家都无法与他相比，虽然他们中相当多人也熟悉当代科学的进展。6波普尔的说法是，他当时患眼疾，无法及时校对书稿。波普尔不止一次这样讲。但是这一解释似乎并不足以说明出版工作为何最终推迟了20多年，也许还有别的什么原因。《后记》的编辑巴特利（WilliamWarrenBartley）也没有一一交待80年代出版的《后记》与当年的校样之间有多大的差别。只是说年以后，波普尔对文本没有增补任何东西，在此之前波普尔对校样做了数千处修改。7接着《科学发现的逻辑》一书的小节序号排列，这一小节的连续标号为75。8J.Hadamard,Lessurfacesàcourburesopposéesetleurslignesgéodésiques,JournaldeMathématiquespuresetappliquées,5thseries,Vol.4(),pp.27-73.中国国家图书馆收有精装的原版杂志。《物理学理论的目的与结构》中译本第页脚注中将这期杂志的出版年误标为年。此文献在阿达马传JacquesHadamard:AUniversalMathematician附录1的阿达马作品列表共项中列在[I.62]。该传记第11.2节对阿达马的此项研究有专门讨论。9中文参见《物理学的目的与结构》，李醒民译，华夏出版社，年，第－页。10布里渊-年在法国高师接受教育。年为索邦大学教授，二战期间移居美国，年成为威斯康星大学教授，年入美国籍。－年在IBM供职，－年为哥伦比亚大学教授。研究专长为量子力学，发展了求薛定谔方程近似解的BWK方法，在固体物理研究中发现了著名的布里渊带（Brillouinzones）。一生发表多篇文章，出版15部著作。年被选为美国科学院院士。主要的科学哲学著作有《科学与信息理论》（,）和《科学的不确定性与信息》（）。布里渊关于动力学不稳定性的科学哲学阐发，很少有人注意。WalterHoering倒是注意到了该工作的意义，在年的论文《经典物理学的非决定论》一文中多处引用布里渊的著作，并将其与李雅普诺夫（）、庞加莱（－9）、波普尔（）、玻恩（）、F.Dear（）、F.Bopp（）等人的论述联系起来，但对布里渊深刻工作的理解似乎还不够深入。11对麦克斯韦年2月11日演讲中关于浑沌论述的初次引文见：ChaosinEducation:TeachingNonlinearPhenomena-Ⅱ,editedbyGeorgeMarx,NationalCenterforEducationalTechnology,ProceedingsoftheInternationalWorkshoponTeachingNonlinearPhenomenaatSchoolsandUniversities,LakeBalaton,Hungary,April,p.47。全面的介绍见：B.R.HuntandJ.A.Yorke,MaxwellonChaos,NonlinearScienceToday,3(1),1-4. 麦克斯韦论浑沌的演讲现收录于哈曼（P.M.Harman）编辑的TheScientificLettersandPapersofJamesClerkMaxwell,Vol.2,CambridgeUniversityPress,,pp.－。12关于对因果性一个教条的质疑，《哲学研究》，年第7期，第79－84页。13细节可参见《浑沌语义与哲学》第3章“非线性动力学浑沌”，湖南教育出版社，年。14主要依据VladimirMazya和TatyanaShaposhnikova合写的阿达马传记。有一次阿达马访问莫斯科，科尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov）等人陪同他在一条河上游览，突然阿达马看到了什么，请求立即靠岸。他来到船头，未等船停稳就急不可待地冲了过去，一不小心掉在了水里。原来，他发现了一种不同寻常的蕨，在别处他已经寻找了好多年。可是，阿达马需要马上返回莫斯科参加由苏联科学院院长柯马洛夫（V.L.Komarov）主持的欢迎会。他只好临时穿上萨捷耶维奇（PavelSergeyevich）的外套，但阿达马个子高些，这外套就显得小了。宴会上人人都问阿达马：“怎么了，教授？这不是你的外套，你不会掉到水里了吧？”15迪昂年即获得执教资格。年提交了物理学方面的博士论文，但论文攻击了贝特洛的“最大功原理”，而贝特洛是当时法国科学界的权势人物,著名化学家，－年还担任过外交部长。贝特洛成功地拒绝了迪昂的学位论文，据说他曾扬言：迪昂将永远不得在巴黎教书。不幸的是，事情被他言中了。迪昂在高师又呆了两年，年他提交了另一份关于磁学理论的博士论文。在国内，迪昂研究专家当推李醒民老师。他早在年就发表了关于迪昂生平、成就的全面评述文章，见《自然辩证法通讯》年第2期。年李醒民又在台湾出版《迪昂》一书。16李醒民在《哲人科学家迪昂》中说：“有人甚至有点言过其实地认为，与迪昂相比，他的同时代的科学史家似乎有点外行的味道，因为没有人像迪昴那样埋头于中世纪的浩瀚手稿堆中，以名副其实的历史学家的姿态，以全新的方式撰写真实的科学史。就连享有盛誉的科学史大师萨顿竟没有研究过中世纪的手稿和藏书，而他却是靠近四卷关于古代和中世纪的巨著确立起学术大威望的。”见《物理学理论的目的和结构》中译本序言，华夏出版社年，第3页。李老师很早就对迪昂给予极大